引發 » 科學 » 數學 » 如何輕鬆解負分數除法：符號、倒數和化簡。
除法運算變成乘以除數的倒數，注意符號以決定商數。
相同的符號會產生陽性結果；不同的符號，無論組合如何，都會產生陰性結果。
簡化運算前後可以減少錯誤，提高計算效率。
在進行負號的分數除法時，很多人會因為符號和倒數而感到困惑。好消息是，步驟其實很簡單：只要將除法重新理解為乘以分數的倒數，注意符號，最後化簡即可。 採用一致的方法，操作即可自動化，避免常見錯誤。.
在開始正題之前，值得記住的是，負分數遵循與正分數相同的規則，只是增加了符號的細節。 如果你掌握了符號法則和「取第二個分數的倒數」（即所謂的乘法逆元）的概念，你就已經成功了 90%。.
負分數的基本知識
負分數可以帶負號出現在分子、分母或整個分數前面：-a/b、a/(-b) 和 -(a/b) 是等價的。 這意味著“-”號可以放在最方便計算的任何位置。一般來說，我們將分數符號放在分數的前面，以便於閱讀。
兩個分數相除時，第一個分數稱為被除數，第二個分數稱為除數。 分數除法中，永遠不要交叉除法；而是將除法轉換為乘以除數的倒數。這是過程的關鍵所在。
分數 c/d 的倒數（或倒數）是 d/c，假設 c 和 d 不為零。 當存在符號時，這個結論也適用：-c/d 的倒數是 d/(-c)。將第二個分數取倒數後，除法就變成了普通的乘法。
分數除法中的符號規則
要正確猜出結果的符號，只需記住所有可能的組合即可。 相同符號（陰性與陰性，陽性與陽性）產生陽性結果。不同的符號（一個正號和一個負號）會導致分數為負數。
負數 ÷ 負數 → 正數兩個“-”號會互相抵消。
負數 ÷ 正數 → 負數保留一個連字符（-）。
正數 ÷ 負數 → 負數仍然留有一個“-”。
正數 ÷ 正數 → 正數：正常操作。
這種符號調整可以在開始（反轉之前）、計算過程或結束時進行。 重要的是保持一致性：數一數最終產品中有多少個“-”符號。偶數個負號變成正號，奇數個負號變成負號。
實際操作方法。
實際操作步驟很簡單。簡單來說，就是把除法換成乘法，把除數變成它的倒數。 接下來，將分子相乘，分母相乘，然後化簡最終分數。.
以一般方式重寫，考慮 (-a)/b ÷ (-c)/d，其中 a、b、c、d 不為零。首先，將除法改為乘法，並將第二個分數取倒數：(-a)/b × d/(-c)。 逐項相乘，我們得到 (-a·d)/(b·(-c))由於有兩個負號（一個在分子中，一個在分母中），它們相互抵消，我們得到一個正的結果：ad/bc。
相關： 7 個最相關的測量誤差注意這與討論過的符號規則相吻合：兩個負數相除，商數為正數。 當兩個項均為負數時，它們的乘積為正數，最終結果中不會出現“-”。.
依照相同的邏輯，如果分數中只有一個為負數（被除數或除數），則結果將帶有「-」。 你可以將「-」保留在結果前面，也可以將其併入分子中。.
從基礎到高級，提供已解答的例題。
範例 1：(-2/3) ÷ (-4/5)。轉換為乘法：(-2/3) × (5/(-4))。相乘，得到 (-2 × 5)/(3 × -4) = (-10)/(-12)。 兩個負號相互抵消，結果為 10/12，化簡後為 5/6。.
例 2：(-7/9) ÷ (2/3)。用乘法代替：(-7/9) × (3/2)。結果：(-21)/18。 現在只有一個“-”，所以商數是負數：-21/18，化簡後為-7/6。 （或者，如果您喜歡帶分數，則為 -1 1/6）。
範例 3：(5/8) ÷ (-1/4)。將運算轉換為乘法：(5/8) × (4/(-1)) = 20/(-8)。 還剩下一個負號，所以結果是 -20/8，化簡後為 -5/2。.
例 4（附有用的因式分解）：(-6/5) ÷ (-9/10)。取倒數：(-6/5) × (10/(-9))。相乘：(-60)/(-45)。 加上兩個負數，就變成了 60/45，減 15，就變成 4/3。.
範例 5（附分數）：-1 1/2 ÷ (-3/4)。轉換為假分數：-3/2 ÷ (-3/4)。翻轉第二個數：-3/2 × 4/(-3) = (-12)/(-6)。 同樣，兩個“-”消失了，剩下12/6，即2。.
在這些例子中，最後一定要盡量簡化。 如果及早發現公因數（例如上下都有 3），也可以在乘法之前簡化。這樣可以減少數字的規模，避免算術錯誤。
為什麼這種方法有效？
秘密在於乘法逆元：除以一個分數等於乘以一個數，這個數乘以它時會「抵消」這個分數。 如果 c/d × d/c = 1，則 a/b ÷ c/d 必定是 a/b × d/c。這是有理數的性質直接導致的。
關於符號，我們採用經典規則：兩個負數的乘積為正數。 當除法變成乘法時，我們實際上是將涉及的符號相乘，而「-」號的數量決定了結果的符號。.
這種理解可以避免盲目記憶公式。 透過理解除法等於乘法，以及同號相消，你就能獲得解決任何問題的能力。.
一個安全的簡單方法是：先化簡再乘法。
節省時間的策略是在乘法之前先約分。例如，在 (8/15) ÷ (-4/9) 中，可以寫成 (8/15) × (9/(-4))。 請注意，8 和 4 都能被 4 整除，9 和 15 都能被 3 整除。約分後：(2/5) × (3/(-1)) = 6/(-5) = -6/5。
這種方法可以減少數字的規模，使最終的簡化變得更加容易。 分子和分母的數值越小，出錯的幾率就越低。.
常見錯誤及避免方法
錯誤一：忘記將第二個分數取倒數。很多人直接相乘，結果把符號搞混了。 記住：除以 c/d 等於乘以 d/c。如果沒有這種反轉，結果就是錯誤的。
相關： 如何輕鬆進行分數除法：完整指南和範例錯誤 2：符號互換導致失控。 「-」可以放在分子、分母或前面，但不要重複輸入或誤刪。 數一數倒數和乘法之後有幾個負號；兩個負數等於一個正數。.
錯誤 3：跳過簡化步驟。例如，如果可以簡化為 5/7，卻只停留在 30/42，這是一種浪費，並且可能會損害未來的比較。 化簡時，總是要尋找最大公約數（GCD）。.
錯誤 4：混淆了「交叉除法」和「交叉乘法」。在分數除法中，不存在交叉除法；我們首先將其轉換為乘法，然後才能進行運算。 交叉相乘是一種比較分數的方法，而不是除法運算。.
特殊情況和護理
例如，當分子為零時，0 ÷ (-3/5)，結果為 0。 這是因為零乘以任何數（取倒數後）還是零。簡單安全。
然而，當一個分數的分母為零時（例如 2/0），該分數是無意義的，相應的除法也沒有意義。 永遠不要將分子為零的分數（0/d）取倒數，因為倒數需要除以零。.
如果分數外有括號表示“-”，例如 -(5/7)，則將其視為一個單獨的負數實體。 在第二個分數取倒數時，其符號與被取倒數項的分子或分母的符號相同。不要把所有東西混在一起。
對於帶分數，在進行任何步驟之前，請務必先將其轉換為假分數。 這種方法規範了標誌的處理方式，簡化了檢查流程。.
快速檢查：訊號和大小是否合理？
找到結果後，確認兩件事：符號是否符合符號規則？大小（絕對值）是否合理？ 將此結果與近似的十進制值進行比較，看看你是否「錯過」了結果。.
例如：(-2/3) ÷ (1/6) 變成 (-2/3) × 6 = -12/3 = -4。用十進位表示，-0,666… 除以 0,166… 得到的結果接近 -4。 這種「健全性測試」非常適合發現錯誤。.
你也可以考慮「能容納多少次」這個概念。如果除數很小（例如 1/10），除以它應該會使數字增加；如果除數很大（例如 5），除以它應該會使數字減少。 這種直覺有助於識別結果中的異常值。.
將此方法應用於情境問題
假設債務為 -3/4 個單位，分期付款金額為 -1/8 個單位。由於有兩個負數，商數為正數：(-3/4) ÷ (-1/8) = (-3/4) × (8/(-1)) = (-24)/(-4) = 6。 解釋：分六期償還相同「負金額」的款項即可償清全部債務。.
在測量和比例中，我們有時會遇到負值（低於參考點的變化）。 代數運算過程不變：求除數的逆元，乘法，化簡。差異在於對訊號的解釋，訊號指示方向（上漲或下跌、獲利或虧損、收益或損失）。
相關： 什麼是連續分數？它們與連分數有什麼關係？在涉及物理量的練習中，要小心零和分母。 如果任何一項使得逆運算不可能（除數的分子為零），則運算無效。檢查該陳述是否前後一致。
從符號到短語：另一種看待事物的方式
將「除以一個分數」的運算寫成「乘以使它變成 1 所需的量」。這個「量」是它的逆運算。 當分數是負數時，「多少」帶有相應的符號，符號的乘積決定了最終的符號。.
因此，(-a)/b ÷ (-c)/d 變成 (-a)/b × d/(-c)。從視覺上看，一個“-”位於乘積的分子中，另一個“-”位於分母中。 它們相互抵消，最終分數變為正數：(a·d)/(b·c)其他符號組合也適用同樣的解釋。
指導練習：帶有講解的練習
(-11/12) ÷ (11/18)。取倒數：(-11/12) × (18/11)。我們可以先用 11 化簡 11，再來進行乘法運算：餘數為 (-1/12) × 18/1 = -18/12。 減 6 得到 -3/2.
(3/10) ÷ (-9/5)。倒數：(3/10) × (5/(-9))。我們用 10 約掉 5，得到 (3/2) × (1/(-9)) = 3/(-18)。 簡化結果：-1/6.
(-4/15) ÷ (-2/9)。倒數：(-4/15) × (9/(-2))。我們可以用 15 乘以 3 來簡化 9：(-4/5) × (3/(-2)) = (-12)/(-10)。 兩個“-”相互抵消：12/10，簡化後為6/5。.
(7/8) ÷ (-7/16)。倒數：(7/8) × (16/(-7))。我們用 7 約掉 7：(1/8) × (16/(-1)) = 16/(-8)。 它變成-2.
常見問題：常被問到的問題
我可以把第一個分數倒過來嗎？不，是第二個分數上下顛倒了。 除法“a/b ÷ c/d”變成“a/b × d/c”，正是因為你“撤銷”了除數。.
如何處理像 -a/(-b) 這樣的混合符號？它是正數，因為有兩個負數。 一般來說，將標誌牌放在前面以避免混淆：-(a/b)它變得更乾淨、更均勻。
最後一定要簡化嗎？是的，建議這樣做。 不可簡化形式的反應是標準的，有助於比較結果。.
倒數相乘法有例外嗎？只要分數有效（分母不為零且除數不為零），就沒有例外。 此方法適用於所有有理數。.
與課堂上給予的規則連結起來
許多教材將此技巧總結為三個指導原則：用乘法代替除法，將第二個分數取倒數，並化簡。 我們正是這樣做的，格外留意各種跡象。.
如果採用符號形式 (-a)/b ÷ (-c)/d，你會發現這個過程會導致 (-a)/b × d/(-c)，然後導致 (-a·d)/(b·(-c))。 因為兩個負數等於一個正數，所以最終的商數是 (a·d)/(b·c)。是的，結果為陽性，證實了該規則。
想更深入學習嗎？與其點擊某個具體的“這裡”，不如參考分級練習清單和分數及符號的複習資料。 陳述的內容越多樣化，你對這項技術的掌握就越強。.
透過實踐──將除數取倒數，將分子和分母相乘，並化簡結果──負分數除法就不再是一項艱鉅的任務了。 透過注意各種跡象並養成簡化的習慣，你就能在快速計算和解決具體問題方面都建立起信心。.